Правка 29 апреля 2009

Андрей Чернов. ЗАМЕТКИ О ВЕЧНОМ

АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ

РЯДА ФИБОНАЧЧИ

И ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ √2

И ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Непостижимые (потому как несоизмеримые с единицей) √2 и √5 стали для ранней античной философии бесплотным подобием Прометеева орла и привели к первому кризису античной философии. См. об этом в главе «За что погиб Гиппас из Метапонта»

http://chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_0_3.htm

Ставка на рациональность и целочисленные отношения оказалась тупиком, и в конце этого тупика зияла алчная пасть нового Минотавра – всепроникающей иррациональности, а, значит, и – хаоса.

Религиозным и художественным выходом из этого кризиса стало строительство Парфенона. Греки просто-напросто обожествили корень из двойки и пятерки, в чем можно убедиться, взглянув на геометрическую интерпретацию Н. М. Введенской (в главе «Как проектировали Парфенон»):

http://chernov-trezin.narod.ru/Parfenon-2.htm

Попытки преодоления мыслительного предела, поставленного, казалось бы, перед человеческим разумом волей самих богов, продолжались (и продолжаются до сих пор). Английский философ и математик Бертран Рассел в своей «Истории Западной философии» (глава 24) пишет об античной математике:

«√2 – первое из открытых иррациональных чисел – был известен ранним пифагорейцам, и были изобретены остроумные методы приближения к его значению. Наилучшим было следующее: образуйте два столбца чисел, которые мы будем называть a и b; каждый столбец начинается с единицы. Каждое последующее a на каждой стадии образуется путем сложения уже полученных последних а и b. Последующее b образуется путем прибавления удвоенного предыдущего а к предыдущему b. Так получаются первые 6 пар (1, 1), (2, 3), (5, 7), (12, 17), (29, 41), (70, 99). Для каждой пары выражение 2а² – b² будет 1 или –1. <…> К примеру, читатель может удовлетвориться тем, что (99/70)² почти равняется 2».

Итак, в пределе отношение b _n / a _n  равно √2.

В математической записи, которую читатель-гуманитарий волен пропустить, это будет выглядеть так:

Если

a _n = a _{n – 1} + b _{n – 1}

b _n = 2a _{n – 1} + b _{n – 1}

то при исходных a₁ = b₁ = 1

b _n : a _n → √2.

Алгоритм Рассела, или «Пифагорейский алгоритм» (название условное, поскольку сами пифагорейцы вряд ли о нем знали ) красив сам по себе. Но прошу читателя-гуманитария набраться терпения, поскольку мы уже стоим на том пороге, не пройдя который нельзя понять связь между корнями из двойки, золотым сечением и математической сутью эволюционного механизма, который должен начинаться с некоей единицы и путем ее самосложенья (ибо ничего иного не дано) в конечном счете приводить к многообразию природных форм.

Перед нами один из вариантов эволюционной формулы теза – антитеза – синтез, по которой устроен и ряд Фибоначчи. (Подробнее о см. в предыдущей главе: http://chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_1.htm)

Однако в Пифагорейском алгоритме каждое следующее a есть сумма предыдущих a и b, а каждое следующее b есть результат сложения удвоенного (то есть доминантного) a предыдущей строки с b предыдущей строки.

По этому «пифагорейскому» способу составим таблицу для первых двенадцати значений a и b.

Убедимся в том, что в пределе отношение b _n / a _n и впрямь приближается к корню из двойки:

Отношение  b ₁₂ / a ₁₂ = 1,41421362... (при √2 = 1,41421356...)

Как указал мне В. Белянин, «многократно замечено сначала двумя индийскими математиками в VII и XII веках, а затем в Европе Ферма, Валлисом и другими…» (пламенный привет от автора этих заметок всем изобретателям велосипедов!), что если в алгоритме Рассела вместо коэффициента 2 взять 3, то формула примет вид

a _n = a _{n – 1} + b _{n – 1}

b _n = 3a _{n – 1} + b _{n – 1}

и тогда мы получим приближение к √3.

А если коэффициентом будет семерка, то формула даст приближение к √7.

Словом, какой коэффициент, такой и корень.

Интересно также посмотреть, что же будет, если мы сместим коэффициент во второй строке формулы и вместо

b _n = 2a _{n – 1} + b _{n – 1}

запишем

b_n = a _{n –1} + 2b _{n – 1}

Оказывается, именно так мы и получим… алгоритм ряда Фибоначчи:

Пусть

a _n = a _{n – 1} + b _{n – 1}

b _n = a _{n – 1} + 2b _{n – 1}

При a ₁ = 1 и b ₁ = 1

в пределе b _n : a _n и a _n : b _{n –1} →  (√5 + 1) : 2 = 1,618...

Можно предположить, что сходство алгоритма Рассела для приближения к √2 и нашей формулы ряда Фибоначчи говорит о двух равноправных ветвях эволюционного развития той Вселенной, внутри которой мы существуем. И механизм эволюции предельно прост: в обоих случаях мы получали a _n и b _n при помощи простого сложения нечетного и четного с непременным удвоением одного из членов. В первом варианте a = 1; b = 1 и доминантным становился нечетный член ряда (и потому он удваивался), а во втором a = 1; b = 1 и доминантным становится четный член ряда.

Один ряд приближает нас к √2, а другой к золотому сечению. И это свидетельствует о том, сколь фундаментально связаны между собой гармонические константы Ф и √2.

Обобщим оба математических ряда, дающих приближение к √2 и к золотому сечению в одной формуле (для положительных значений обоих рядов):

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АЛГОРИТМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ПРОЦЕССА:

В ряду a ₁; b ₁; a ₂; b ₂ <...> a _n; b _n

при условии, что

a ₁ = b ₁ = 1

a _n = a _{n – 1} + b _{n – 1}

b _n = xa _{n – 1} + yb _{n – 1}

– если x = 2, а y = 1, то в пределе b _n : a _n  → √2

– если x = 1, а y = 2, то в пределе b _n : a _n и a _n  : b _n–1 →  (√5 + 1) : 2 = Ф

То есть результат зависит от коэффициента доминантности – двойки. Если при эволюционном синтезе удваивается теза (а, нечетный член ряда), то в отношениях смежных чисел получаем приближение к √2, если антитеза (четное b), – то золотое сечение.

Элементарный алгоритм эволюционного процесса показывает, что диалектическая триада Шеллинга/Гегеля описывает лишь начальный этап эволюционной цепочки и первичный синтез – результат сложения тезы и антитезы:

a ₂ = a ₁ + b ₁

Но чтобы получить звено b ₂, надо вернуться к a ₁ и b ₁ и удвоить одно из этих выражений, то есть сделать доминантным или a ₁, или b ₁. В первом случае предел пропорции смежных членов стремится к √2, во втором к золотой пропорции.

При этом в обоих вариантах алгоритма числовые значения а и b совпадают на протяжении пяти звеньев (вплоть до a ₃ = 5).

Подытожим: мы показали эволюционную связь двух математических констант – квадратного корня из двойки и золотого сечения.

Открытие пост-пифагорейцев (к сожалению, Рассел не указывает, кому оно принадлежит) – не математический фокус и не просто «красивый алгоритм». Это один из двух вариантов элементарной ячейки эволюционного процесса, а, значит, и доказательство эволюционного развития нашей вселенной.

2007–2009