на титульную страницу сайта

 

на титульную страницу раздела

 

Правка 29 апреля 2009

 

Андрей Чернов. ЗАМЕТКИ О ВЕЧНОМ

 

 

АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ АЛГОРИТМ

РЯДА ФИБОНАЧЧИ

И ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ √2

И ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

 

Непостижимые (потому как несоизмеримые с единицей) √2 и √5 стали для ранней античной философии бесплотным подобием Прометеева орла и привели к первому кризису античной философии. См. об этом в главе «За что погиб Гиппас из Метапонта»

http://chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_0_3.htm

 

Ставка на рациональность и целочисленные отношения оказалась тупиком, и в конце этого тупика зияла алчная пасть нового Минотавра – всепроникающей иррациональности, а, значит, и – хаоса.

Религиозным и художественным выходом из этого кризиса стало строительство Парфенона. Греки просто-напросто обожествили корень из двойки и пятерки, в чем можно убедиться, взглянув на геометрическую интерпретацию Н. М. Введенской (в главе «Как проектировали Парфенон»):

 

http://chernov-trezin.narod.ru/Parfenon-2.htm

 

Попытки преодоления мыслительного предела, поставленного, казалось бы, перед человеческим разумом волей самих богов, продолжались (и продолжаются до сих пор). Английский философ и математик Бертран Рассел в своей «Истории Западной философии» (глава 24) пишет об античной математике:

 

«√2 – первое из открытых иррациональных чисел – был известен ранним пифагорейцам, и были изобретены остроумные методы приближения к его значению. Наилучшим было следующее: образуйте два столбца чисел, которые мы будем называть a и b; каждый столбец начинается с единицы. Каждое последующее a на каждой стадии образуется путем сложения уже полученных последних а и b. Последующее b образуется путем прибавления удвоенного предыдущего а к предыдущему b. Так получаются первые 6 пар (1, 1), (2, 3), (5, 7), (12, 17), (29, 41), (70, 99). Для каждой пары выражение 2а2 – b2 будет 1 или –1. <…> К примеру, читатель может удовлетвориться тем, что (99/70)2 почти равняется 2».

 

Итак, в пределе отношение b n / a n  равно √2.

В математической записи, которую читатель-гуманитарий волен пропустить, это будет выглядеть так:

 

Если

a n = a n – 1 + b n – 1

b n = 2a n – 1 + b n – 1

 

то при исходных a1 = b1 = 1

 

b n : a n → √2.

 

Алгоритм Рассела, или «Пифагорейский алгоритм» (название условное, поскольку сами пифагорейцы вряд ли о нем знали ) красив сам по себе. Но прошу читателя-гуманитария набраться терпения, поскольку мы уже стоим на том пороге, не пройдя который нельзя понять связь между корнями из двойки, золотым сечением и математической сутью эволюционного механизма, который должен начинаться с некоей единицы и путем ее самосложенья (ибо ничего иного не дано) в конечном счете приводить к многообразию природных форм.

Перед нами один из вариантов эволюционной формулы теза – антитеза – синтез, по которой устроен и ряд Фибоначчи. (Подробнее о см. в предыдущей главе: http://chernov-trezin.narod.ru/ZS_1_1.htm)

Однако в Пифагорейском алгоритме каждое следующее a есть сумма предыдущих a и b, а каждое следующее b есть результат сложения удвоенного (то есть доминантного) a предыдущей строки с b предыдущей строки.

По этому «пифагорейскому» способу составим таблицу для первых двенадцати значений a и b.

Убедимся в том, что в пределе отношение b n / a n и впрямь приближается к корню из двойки:

 

a n

b n

a 1 = 1

b 1  = 1

a 2 = 2

b 2 = 3

a 3 = 5

b 3 = 7

a 4 = 12

b 4 = 17

a 5 = 29

b 5 = 41

a 6 = 70

b 6 = 99

a 7 = 169

b 7 = 239

a 8 = 408

b 8 = 577

a 9 = 985

b 9 = 1393

a 10 = 2378

b 10 = 3363

           

Отношение  b 12 / a 12 = 1,41421362... (при √2 = 1,41421356...)

 

Как указал мне В. Белянин, «многократно замечено сначала двумя индийскими математиками в VII и XII веках, а затем в Европе Ферма, Валлисом и другими…» (пламенный привет от автора этих заметок всем изобретателям велосипедов!), что если в алгоритме Рассела вместо коэффициента 2 взять 3, то формула примет вид

 

a n = a n – 1 + b n – 1

b n = 3a n – 1 + b n – 1

 

и тогда мы получим приближение к √3.

А если коэффициентом будет семерка, то формула даст приближение к √7.

Словом, какой коэффициент, такой и корень.

 

Интересно также посмотреть, что же будет, если мы сместим коэффициент во второй строке формулы и вместо

 

b n = 2a n – 1 + b n – 1

запишем

bn = a n –1 + 2b n – 1

 

Оказывается, именно так мы и получим… алгоритм ряда Фибоначчи:

 

Пусть

a n = a n – 1 + b n – 1

b n = a n – 1 + 2b n – 1

 

При a 1 = 1 и b 1 = 1

в пределе b n : a n и a n : b n –1  (√5 + 1) : 2 = 1,618...

 

a n

b n

a 1 = 1

b 1 =1

a 2 = 2

b 2 = 3

a 3 = 5

b 3 = 8

a 4 = 13

b 4 = 21

 

Можно предположить, что сходство алгоритма Рассела для приближения к √2 и нашей формулы ряда Фибоначчи говорит о двух равноправных ветвях эволюционного развития той Вселенной, внутри которой мы существуем. И механизм эволюции предельно прост: в обоих случаях мы получали a n и b n при помощи простого сложения нечетного и четного с непременным удвоением одного из членов. В первом варианте a = 1; b = 1 и доминантным становился нечетный член ряда (и потому он удваивался), а во втором a = 1; b = 1 и доминантным становится четный член ряда.

Один ряд приближает нас к √2, а другой к золотому сечению. И это свидетельствует о том, сколь фундаментально связаны между собой гармонические константы Ф и √2.

Обобщим оба математических ряда, дающих приближение к √2 и к золотому сечению в одной формуле (для положительных значений обоих рядов):

 

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ АЛГОРИТМ ЭВОЛЮЦИОННОГО ПРОЦЕССА:

 

В ряду a 1; b 1; a 2; b 2 <...> a n; b n

при условии, что

 

a 1 = b 1 = 1

a n = a n – 1 + b n – 1

b n = xa n – 1 + yb n – 1

 

– если x = 2, а y = 1, то в пределе b n : a n  → √2

– если x = 1, а y = 2, то в пределе b n : a n и a n  : b n–1   (√5 + 1) : 2 = Ф

 

То есть результат зависит от коэффициента доминантности – двойки. Если при эволюционном синтезе удваивается теза (а, нечетный член ряда), то в отношениях смежных чисел получаем приближение к √2, если антитеза (четное b), – то золотое сечение.

Элементарный алгоритм эволюционного процесса показывает, что диалектическая триада Шеллинга/Гегеля описывает лишь начальный этап эволюционной цепочки и первичный синтез – результат сложения тезы и антитезы:

 

a 2 = a 1 + b 1

 

Но чтобы получить звено b 2, надо вернуться к a 1 и b 1 и удвоить одно из этих выражений, то есть сделать доминантным или a 1, или b 1. В первом случае предел пропорции смежных членов стремится к √2, во втором к золотой пропорции.

При этом в обоих вариантах алгоритма числовые значения а и b совпадают на протяжении пяти звеньев (вплоть до a 3 = 5).

 

Подытожим: мы показали эволюционную связь двух математических констант – квадратного корня из двойки и золотого сечения.

Открытие пост-пифагорейцев (к сожалению, Рассел не указывает, кому оно принадлежит) – не математический фокус и не просто «красивый алгоритм». Это один из двух вариантов элементарной ячейки эволюционного процесса, а, значит, и доказательство эволюционного развития нашей вселенной.

 

2007–2009

 

на титульную страницу сайта

 

на титульную страницу раздела

 

 

Сайт управляется системой uCoz